Notions de base

1. SAVOIR

a. Définitions
 
Une équation est une égalité comportant une ou plusieurs lettres appelées les inconnues.
Résoudre une équation revient donc à chercher les valeurs des inconnues pour lesquelles l’égalité est vraie.
Une équation du premier degré peut s’écrire sous la forme ax + b = 0 où a et b sont deux nombres, a non nul. Elle a une unique solution, ou n’a aucune solution ou tous les nombres sont solutions.
Exemple : 3x + 2 = 5 est une équation où x est l’inconnue.

Une inéquation est une inégalité comportant une ou plusieurs lettres appelées les inconnues.
Résoudre une inéquation
revient à chercher toutes les valeurs des inconnues pour que l’inégalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’inéquation.
Une inéquation du premier degré a une infinité de solutions ou aucune solution.
Exemple : x – 3 > 2x + 7 est une inéquation d’inconnue x.

Une équation-produit est une équation de la forme (ax + b)(cx + d) = 0 où x est l’inconnue et a, b, c et d sont quatre nombres fixés donnés.
Exemples :
  • (3 + x)(5x + 7) = 0.
  • (3 – 5x) = 0 : ici, a = 1 et b = 0.
  • (2x – 5)2 = 0 : en effet, (2x – 5)2 = (2x – 5)(2x – 5).
b. Propriétés
 
Propriétés utilisées pour la résolution d’une équation :
  • On ne change pas une égalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.
  • On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre.
Propriétés utilisées pour la résolution d’une inéquation :
  • On ne change pas le sens d’une inégalité si on additionne (ou soustrait) chacun de ses membres par un même nombre.
  • On ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre strictement positif.
  • On change le sens d’une inégalité si on multiplie (ou divise) chacun de ses membres par un même nombre strictement négatif.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul : A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.
Si (ax + b)(cx + d) = 0 alors, d’après la propriété précédente, ax + b = 0 ou cx + d = 0.
Résoudre une équation-produit revient donc à résoudre deux équations du premier degré.
 

2. SAVOIR-FAIRE

Tester une égalité
On peut remplacer les inconnues d’une équation par des valeurs numériques. L’égalité est alors soit fausse, soit vraie. Dans ce dernier cas, on dit alors que la valeur choisie est une solution de l’équation.
Exemple : 7,5 est-il solution de l’équation 4x – 12 = 18 ?
On remplace x par 7,5 dans le membre de gauche : 4x – 12 = 4 × 7,5 – 12 = 30 – 12 = 18.
7,5 est solution de l’équation 4x – 12 = 18.

► Tester une inégalité

On peut remplacer les inconnues d’une inéquation par des valeurs numériques. L’inégalité est alors soit fausse, soit vraie.
Dans ce dernier cas, on dit alors que la valeur choisie est une solution de l’inéquation.
Exemple : –11 et 0 sont-ils solutions de l’inéquation x – 3 > 2x + 7 ?
–11 est solution de cette inéquation car si on remplace x par –11, on obtient : –11 – 3 > 2×(–11) + 7 soit –14 > –15, qui est une inégalité vraie.
0 n’est pas solution de cette inéquation car si on remplace x par 0 on obtient : 0 – 3 > 2 × 0 + 7 soit –3 > 7 qui est une inégalité fausse.

Résoudre une équation du premier degré
Exemple : Résoudre –3x + 8 = 6x – 5.
–3x – 6x + 8 = 6x – 6x – 5 (on soustrait 6x aux deux membres)
–9x + 8 = –5 (on simplifie l’écriture)
–9x + 8 – 8 = –5 – 8 (on soustrait 8 aux deux membres)
–9x = –13 (on simplifie l’écriture)
x=139=139     (on divise par –9 les deux membres)
L’équation a pour unique solution x=139    .

► Résoudre une équation produit

Exemple : Résoudre l’équation x(3 – 5x) = 0.
Cette équation est composée de deux facteurs : x et (3 – 5x).
D’après la propriété du produit nul, on a : x = 0 ou 3 – 5x = 0.
Soit 5x = 3 puis x=35    .
Les solutions de l’équation sont les nombres x = 0 et x=35    .

► Résoudre une inéquation du premier degré

Exemple : Résoudre l’inéquation 2x – 19    0.
2x – 19 + 19 ≥ 0 + 19 (on rajoute 19 aux deux membres)
2x ≥ 19 (on simplifie l’écriture)
2x2192     (on divise par 2 les deux membres sans changer le sens de l’inégalité car 2 est un nombre positif)
x ≥ 9,5 (on simplifie l’écriture)
Cette inégalité peut se représenter graphiquement sur une droite graduée.
 

3. A RETENIR

a. Glossaire
Calcul mental : Calcul effectué de tête, sans calculatrice.
Degré d’une équation ou d’une inéquation : Puissance la plus élevée des termes en x. Si elle est du premier degré, les termes en x sont à la puissance 1, c’est-à-dire des multiples de x. Si elle est du second degré, elle contient des termes en x jusqu’à la puissance 2 (multiples de x2).
Droite graduée : Droite pour laquelle on a choisi une origine (point souvent appelé O), une longueur unité (la distance entre l’origine et la première graduation, souvent appelée I, mesure une unité ; cela vérifie OI = 1) et un sens.
Équation du premier degré : Équation qui peut s’écrire sous la forme ax + b = 0 où a et b sont deux nombres, a non nul.
Fractions : Écriture d’un nombre sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers (numérateur sur dénominateur non nul).
Inéquation du premier degré : Inéquation qui peut s’écrire sous la forme ax + b > 0 où a et b sont deux nombres, a non nul. Le signe pouvant aussi être <, ≤ ou ≥.
Membres : Expressions qui sont de part et d’autre des signes d’équation ou inéquation (=, <, >, ≤ et ≥). Il y en a deux par équation ou inéquation.
Nombres entiers : Les nombres entiers naturels sont les nombres qui permettent de compter : 0, 1, 2, 3, 4, etc. Les nombres entiers sont composés des nombres entiers naturels et de leur opposé (–1, –2, –3, –4, etc.).
Terme : Dans une équation ou une inéquation, nombre (entier, décimal, etc.) ou expression contenant une inconnue (2x, –3x, etc.).
 
b. Formules clés
Propriétés des égalités
Pour a, b et c trois nombres quelconques, si a = b alors a + c = b + c et a – c = b – c.
Pour a, b des nombres quelconques et c un nombre non nul, si a = b alors a×c=b×c     et ac=bc    .

Propriétés des inégalités (ordre et inégalité)
Pour a, b et c trois nombres quelconques, si a < b alors a + c < b + c et a – c < b – c.
Pour a, b et c trois nombres quelconques avec c > 0, si a < b alors a×c<b×c     et  ac<bc    .
Pour a, b et c des nombres quelconques avec c < 0, si a < b alors a×c>b×c     et  ac>bc    .

Produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul : A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.
 
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